ज्ञान मिळविण्यासाठी बुद्धीला पर्याय शोधण्याच्या शक्यतांबाबतच्या चर्चेत (आजचा सुधारकऑगस्ट ९५, ऑक्टोबर ९५) आजवर अशा दोन पर्यायांचा उल्लेख झालेला आहे. एक आहे साक्षात्कारी (revelatory) ज्ञान, उदा. थिआसॉफिस्टांचे अणु-संरचनेचे ज्ञान. दुसरे आहे अंतःस्फूर्तीचे (intuitive) ज्ञान, उदा. रामानुजन, Kekule वगैरेंचे ज्ञान.
या दुसर्या( जातीतले ज्ञान काही बर्या.पैकी स्पष्ट अशा गृहीतकांपासून किंवा पेंद्रिय माहितीपासून काही प्रमेयांपर्यंत किंवा नव्या माहितीपर्यंत जाणारे आहे. साक्षात्कारी ज्ञानाच्या बाबतीत मात्र गृहीतके किंवा पेंद्रिय माहिती यांना पाया मानले जात नाही. एका रूपकाने हा फरक स्पष्ट करतो- एक लांब, नदीसारखे टाके आहे. त्यातले पाणी गढूळ, अपारदर्शक असे आहे. या टाक्याची एक बाजू ज्ञाताची, तर दुसरी अज्ञाताची. दोन्ही काठांवर अनेक दोर दिसतात. हे दोर दोन काठ सांधणारे आहेत. काही दोर पाण्याच्या वर ताणले गेले आहेत, तर काही पाण्याखालून जातात. आपण या दोरांच्या साहाय्याने एका काठावरून दुसरीकडे, ज्ञातापासून नव्या ज्ञानाकडे जातो.
जिथे ही सर्व वाटचाल पाण्याबाहेर आहे, ती साध्या, सरळ, बुद्धीने ज्ञान कमावण्याची दोरी. जिथे विषयात “बुडून गेलेल्या व्यक्तीला दुसरा काठ“लाभतो”, पण ती । व्यक्ती दोरीची वळणे व त्यातल्या गाठी सर्वांना स्पष्टपणे दाखवू शकत नाही, ती पाण्याखालूनजाणारी अंतःस्फूर्तीची दोरी. आणि साक्षात्कार म्हणजे होडीने टाके ओलांडून जाणे. रामानुजन व Kekule बुडी मारून पलिकडे जात असत, याला भक्कम पुरावे आहेत. त्यातल्या रामानुजनबाबतची माहिती खाली देत आहे.
श्रीनिवास रामानुजन हा कुंभकोणम मधल्या मध्यमवर्गी घरात जन्मलेला. लहानपणापासूनच गणिताचे प्रेम, व त्यात गती. पण इंग्रजी भाषेत गती नसे, आणि शरीरशास्त्रासारखे मूर्त विषय मुळीच आवडत किंवा जमत नसत. यामुळे औपचारिक शिक्षण मॅट्रिकशी येऊन थांबले. कार (Carr) या लेखकाच्याA Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics या सूत्र-सारांशरूपी गणिताच्या पुस्तकाने रामानुजनला भारले, व तो गणिती सूत्रे शोधू लागला. अशी काही सूत्रे, प्रमेये वगैरे रामानुजनने इंग्लंडला पाठवली. हार्डी व लिटलवुड यांनी ती तपासली. त्यातली काही चुकीची होती, काही उत्साहाने अनेक वर्षे माहीत असलेल्याच गोष्टी नव्या समजून मांडणारी होतीव काही ज्ञात गणिताच्या बरीच पुढे होती! थोडक्यात म्हणजे रामानुजन हा औपचारिक (formal) तर्हेेने गणित न शिकलेला प्रतिभावंत होता. म्हणून हार्डीने रामानुजनला इंग्लंडला बोलावून घेतले.
त्याकाळी समुद्र ओलांडण्याने “जात जात असे पण रामानुजन व त्याची आई या दोघांनाही नामक्कल येथील नामगिरी देवीने दृष्टांत दिला, व “आगे बढों” म्हटले. यावेळी सत्तावीस वर्षांचा रामानुजन मद्रास बंदरात कारकून होता (१९१४). धार्मिक स्वभाव, भाषेच्या वापरात दुर्बलता, गरिबी, यांच्यासोबत रामानुजनचा मानी स्वभाव अनेकदा दिसत असे. हार्डीने पत्रांद्वारे केलेल्या चौकश्यांकडे जरा संशयाने पाहिले जाऊन तुटक उत्तरे दिली जात. पुढे एकदा पाहुण्यांना आपण शिजविलेले “सूप आवडले नाही, अशा संशयावरून रामानुजन इंग्लंडात दोनतीन दिवस “बेपत्ता झाल्याचाही किस्सा आहे!
इंग्लंडात पोचल्यावर हार्डीच्या लक्षात आले, की रामानुजन “काटेकोर” नव्हता. तो म्हणतो, “गणितातील सिद्धतेबद्दलच्या त्याच्या कल्पना अगदी धूसर होत्या. त्याचे नवेजुने, चूक-बरोबर, सारेच निष्कर्ष अंतःस्फूर्ती व विगमन (induction) यांच्या मिश्र युक्तिवादातून काढले जात, आणि या क्रियेचे सुसंगत वर्णन करणे त्याला मुळीच जमत नसे.”
सिद्धतेबद्दल काटेकोरपणा हा त्यावेळच्या इंग्रज गणितींचा “गुण” नव्हता. शक्यतो कमी गृहीतकांपासून कठोर निगमनाने (deduction) ने प्रमेये सिद्ध करणे, हा युरोपीय गणितींचा आग्रह. हार्डीला स्वतःला असे करण्याचे जॉर्डन या फ्रेंच गणितीच्या पुस्तकावरून स्फुरले, पण स्वतः हार्डी अखेरपर्यंत आपण खरेच काही सिद्ध करतो का, याबाबत साशंक असे. लिटलवुड तर काटेकोरपणा हा स्नातकपूर्व (under-graduate) गुण मानत असे. पण रामानुजन यांपेक्षाही कमी काटेकोर होता. त्याच्या आवडीचे गणितातले क्षेत्र “विश्लेषक
संख्याशास्त्र”. हे मात्र काटेकोरपणेच अभ्यासायचे क्षेत्र आहे, हे हार्डीचे मत होते. त्यामुळे रामानुजनला नव्या संशोधनासोबत औपचारिक गणिताचे शिक्षणही घ्यावे लागे.
“बुडी मारण्याकडे त्याचा कल होता, हे हार्डी स्पष्ट करतो. हार्डीने दिलेली रामानुजनच्या गुणांची यादी अशी – स्मरणशक्ती, चिकाटी, आकडेमोड करायची ताकद (power), सामान्यीकरण करायची ताकद, आकाराची जाणीव (a feeling for form),आणि आपले अभ्युपगम (hypotheses) झपाट्याने बदलण्याची क्षमता. हा शेवटचा गुण युक्तिवादाची साखळी धूसर करतो, सोबत भाषेचा कमकुवतपणा आपल्या रूपकातल्या दोराला अधिकच खोल बुडवतो. पण स्मरणशक्ती व चिकाटी, गरीब आयुष्यातून “मानाने सुटायला गणित हाच एक विरंगुळा असणे, हे सारे “पाणबुड्याचेच” साहित्य आहे, हे मला तरी स्पष्ट वाटते.
अशा “जातीच्या संशोधकावर काटेकोरपणा लादला गेला तर काय होणार? आपल्या संशोधनाबद्दल शंका व्यक्त केली जात आहे का, यावर मानी मन कुढत बसणार. आधाराला लहानपणापासून घरात पुजली गेलेली नामगिरी देवीच फक्त. यामुळे रामानुजनला कोणी त्याचे संशोधन स्पष्ट करायचा आग्रह केला, तर तो म्हणे, “उत्तर माझ्या मनात आले.” कधीकधी तर थेट नामगिरी देवीने दृष्टांत देऊन उत्तर सांगितले, असेही तो सांगे. मद्रास बंदरातील बुद्धीला खाद्य न पुरवणार्याृ, कमी पगाराच्या नोकरीतून सोडवू शकणारे हार्डीचे आमंत्रण आले, तेव्हाही असेच घडले असणार. जात टिकवायची, पण परदेशी जायचे, हा पेच सोडवायचा एकच मार्ग होता, आणि तो म्हणजे देवीला पाचारण. यात थट्टा करण्याचा हेतू नाही. तो काळ, रामानुजनची पाश्र्वभूमी, त्याचे एकुलते एक कौशल्य, यातूनच दृष्टान्त होत असत, त्यात साक्षात्कारी काहीही नव्हते हे स्पष्ट आहे. अपार तयारी, एकाग्रता, यातूनच अखेर अंतःस्फूर्ती येणार. ती जर साक्षात्काराच्या रूपात प्रगट झाली, तर सोन्याहून पिवळे.
यावर हार्डीचे मत असे : “मला अनेकदा विचारले गेले, की रामानुजनचे काही खास गुपित होते काय, किंवा त्याचे मन इतर गणितींच्या मनापेक्षा वेगळ्या प्रकारचे होते का, किंवा त्याच्या विचारप्रक्रियेत काही असाधारण (abnormal) असे होते का. मी या प्रश्नांची उत्तरे फार खात्रीने किंवा ठामपणाने देऊ शकत नाही पण मला तसे वाटत नाही. माझा विश्वास असा, की सर्व गणिती मूलतः (at bottom) एकाचे प्रकारच्या वाटेने विचार करतात, आणि रामानुजनही याला अपवाद नव्हता”. हार्डी रामानुजनचा अपमान करत आहे का या मताद्वारे? नाही, कारण “गणितातील नैसर्गिक गती” या बाबतीत तो रामानुजनला एकट्यालाच शंभर गुण देतो, हिल्बर्टला ऐंशी, लिटलवुडला तीस, आणि स्वतःला पंचवीस! पण हे पातळीतले फरक आहेत, प्रकारातले नव्हे. हे गुणात्मक फरक नाहीत.
पातळीतल्या फरकातून येणारे लॉरेन्स यंग या रामानुजनच्या इंग्लंडातील शिक्षकाचे मत मजेदार आहे, तो सांगतो की एखाद्या फळ्यावर मागील व्याख्यात्याच्या नोंदींचे जास्तरंजक असे तुकडे आहेत, आणि त्यावर आपण लिहीत आहोत, असे रामानुजनला शिकवताना वाटे! हा अनुभव कुंभकोणमपासून केंब्रिजपर्यंत अनेक दुय्यम-तिय्यम दर्जाच्या गणितींनाआला असणार. आणि अशा अनुभवाभोवती गूढतेचे वलय रेखणे सोपे असते.
नुकतेच गणपती, त्यांचे कुटुंबीय, शिवशाहीचे मुख्यमंत्री, या सार्यांणचे दुग्धप्राशन झाले. त्या सायाचे भौतिक स्पष्टीकरण दिल्यानंतरही काही ठिकाणी तरी पृष्ठाकर्षणकेशाकर्षणाशिवाय देव दूध प्यायले नसतील कशावरून?”, असा प्रश्न करणारे विचारवंतआहेतच. गूढतेचा, अतिनैसर्गिकतेचा असा सोस नेहेमीच दिसतो. तो एका अ-परीक्षित (unexamined) नम्रतेतून किंवा भयगंड – न्यूनगंडातून येतो का?
स्वतःच्याच मते रामानुजनच्या “पावभर” गणिती कौशल्य असलेला हा म्हणतो, “And yet I am not sure that in some way his failure was not more wonderful than any of his triumphs.” दुहेरी नकार, इंग्रजी ऊनोक्ती वगैरे काढून टाकल्यावर हार्डी म्हणतो,”त्याच्या कोणत्याही यशापेक्षा त्याचे अपयश खात्रीने जास्त विस्मयकारक असे.” पुढे हा जास्तच भावविवश होण्याचा, (undue sentimentalismचा) प्रकार आपल्या हातून झाला याबद्दल हाडन खेद व्यक्त केला. पण वृत्तपत्रांमधल्या“माफ्यांप्रमाणे त्याकडे दुर्लक्ष झाले. उत्तर उरले ते असे, की चुका तेवढ्या स्वतः रामानुजनच्या, आणि यशाचे श्रेय साक्षात्काराला!
या पळवाटांना, गूढतेच्या आकर्षकतेला खुल्या मनाची संज्ञा द्यायची का?
गृहीतक (axiom), अभ्युपगम (hypothesis), प्रमेय(theorem) या सारखाच एक वेगळा वर्ग गणितात आहे, सु-परीक्षित अंदाजाचा (well-tested conjecture). जरासे (च) तांत्रिक उदाहरण पाहा, कोणतीही सम संख्या दोन मूळ (prime) संख्यांच्या बेरजेच्या रूपात मांडता येते. जसे २ =१+१, ८=५+३ वगैरे. आजवर कोणी हे सिद्धही करू शकलेले नाही, किंवा याला अपवाद शोधून खोटेही पाडू शकलेले नाही. म्हणून गणितात याला सु-परीक्षित अंदाज मानून “सत्याचे” स्थान देतात. गृहीतकांपासून काटेकोर तर्काच्या साखळीने किंवा दोराने या बाबतीत या काठावरून त्या काठावर जाता आलेले नाही, पण आसपासचे दोर तपासताना हे टोकही हाती लागलेआहे, पकड जरा“झुळझुळीत” आहे, येवढेच! हे सूत्र कधीच सिद्ध होणार नाही का?
हेही शक्य आहे! गणितात असे अनेक अंदाज आहेत. (त्यातले फर्माचे प्रमेय मात्र नुकतेच खूप आडवळणाने सिद्ध करता आले!)
गोएडेल या गणितज्ञाने असे दाखवून दिले आहे, की सुसंगत गृहीतके व तर्कपरंपरा यांच्या टप्प्यात न येणारी गणिती सत्ये असू शकतात. आणि गोएडेलचा हा निष्कर्ष हे “प्रमेयआहे!
साक्षात्कारी ज्ञान असू शकेलही, पण त्याची विश्वासार्हता नेहमीच शंकास्पदअसणार. थिऑसफीचे भौतिकशास्त्र तर अठराने भाग न जाण्यासारख्या शाळकरी पातळीवरच कोलमडते. त्याला सुपरीक्षित अंदाजही मानणे अशक्य आहे, सत्य मानणे दूरचेच. कितीही मन खुले ठेवले तरी या भौतिकशास्त्राला “मानणे शक्य नाही.
काटेकोरपणाच्या परिसीमेपर्यंत पोचलेल्या बरट्रांड रसेलचा एक किस्सा सांगून हा लांबलेला लेख संपवतो. रसेल हार्डीला स्वतःला पडलेल्या एका स्वप्नाबद्दल सांगत होता. इ. स. २१०० ची गोष्ट. रसेल एका ग्रंथालयात उभा होता. एक माणूस एकेक ग्रंथ तपासत ग्रंथालयातून फिरत होता. काही ग्रंथ तपासून त्यांच्या जागी ठेवले जात होते. काही मात्र एका मोठ्या रद्दीच्या टोपलीत टाकले जात होते. हा माणूस एक तीन खंड असलेल्या ग्रंथाजवळ आला. रसेलला जाणवले, की ती आपल्या प्रिन्सिपिया मॅथमॅटिका” ची शेवटची उपलब्ध प्रत आहे. तपासणान्याने ग्रंथ उघडला. त्यातली नेहमीपेक्षा वेगळी सांकेतिक चिन्हे पाहिली. पुस्तक मिटले. टोपलीवर धरून तपासणारा विचारात पडला आणि रसेल झोपेतून जागा झाला!
येवढ्या साशंक (skeptical), तपासत जाणाच्या पद्धतीतूनच अंदाजही घडायला हवेत. ही मेहेनत न घेता अंतःस्फूर्तीला अतिनैसर्गिक मानणे, साक्षात्कारांना सत्यतेच्या चबुतच्यावर उभे करणे, हा केवळ वैचारिक आळस नव्हे का?
संदर्भ: (१) “द मॅन हू न्यू इन्फिनिटी”, कॅनिगेल.
(२) “अ मॅथमॅटिशियन्स अँपॉलजी”, हाड .
(३) “गोएडेल, एशर, बाख,” होफस्टाटर.