गणिताचे समाजातील स्थान आणि कार्य (पूर्वार्ध)

कार्ल फ्रेडरिक गाऊसने ‘गणित ही विज्ञानशाखांची सम्राज्ञी आहे’ असे म्हटले होते.
यथा शिखा मयूराणां नागानां मणयो यथा

तथा वेदाङ्गशास्त्राणां गणितं मूर्धनि स्थितम् या प्राचीन संस्कृत श्लोकातही हीच भावना व्यक्त होते. गाऊस जगातील आतापर्यंतच्या सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञांतील एक आणि वरील श्लोकाचा रचनाकारही बहुधा गणितीच असणार. त्यामुळे त्यांची गणितासंबंधीची ही धारणा इतरांपेक्षा भिन्न असू शकेल. गणिती आपल्या अभ्यास क्षेत्राबद्दल असा दावा का करतात याची थोडी बहुत कल्पना वाचकाला माझ्या या लेखामुळे यावी अशी मला आशा आहे.

‘गणित म्हणजे काय?’ या प्रश्नाचे उत्तर अर्थातच खूप कठिण आहे. याविषयी अनेकांनी खोलात जाऊन विवरण केले आहे. त्यातील काही उत्कृष्टही आहे. पण तरीही सर्वोत्कृष्ट विवेचनही अपरिहार्यपणे अर्धवट उत्तरेच पुरविते. या प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न करताना गणिताचे समाजजीवनातील कार्य आणि स्थान यावर बऱ्यापैकी चर्चा करणे आवश्यक ठरते.

सर्व गणितांत आढळणारा एक गुण म्हणजे अमूर्तता (abstraction). गणिती कृतीची पहिली झलक मिळते ती संख्यामोजणीत. संख्यामोजणी ही जवळजवळ नकळत होणारी क्रिया, परंतु तीत सखोल अमूर्तता दडलेली आहे. गोष्टींच्या वा वस्तूंच्या समूहामध्ये एक असा गुणधर्म आहे की त्याचा त्या समूहातील वेगवेगळ्या, स्वतंत्र वस्तूंच्या प्रत्यक्ष स्वरूपाशी कसलाही संबंध नाही, हे मानवी मनाला उपजतच समजून येते. हा गुणधर्म म्हणजे ‘त्या समूहातील वस्तूंची वा गोष्टींची संख्या.’ हा समूह कोणत्याही प्रकारचा असू शकतो. एखाद्या टोपलीतील फळे वा कोणत्यातरी विवाहप्रसंगी भेट मिळालेल्या विविध प्रकारच्या वस्तू, किंवा इंद्रधनुष्यातील रंग वा विविध संख्या यासारख्या जड वा अ-जड गोष्टींचाही समूह असू शकतो.

मी आत्ताच संख्यांच्या समूहाचा उल्लेख केला, पण संख्या (number) म्हणजे काय, हे सांगितलेले नाही. अगदी हल्लीहल्लीच म्हणजे विसाव्या शतकात संख्येच्या संकल्पनेची व्याख्या करण्याचे काही प्रयत्न गणितज्ञांनी केले आहेत. त्यातील एक व्याख्या मी येथे थोडक्यात मांडत आहे. त्यासाठी दोन समूहांतील वस्तूंची वा गोष्टींची संख्या एकच आहे हे आपण कसे ठरवतो हे आधी सांगितले पाहिजे.
समजा ‘अ’ आणि ‘ब’ हे दोन समूह आहेत. जर आपण ‘अ’ मधील प्रत्येक गोष्टीची ‘ब’ मधील एका गोष्टीशी जोडी लावू शकलो आणि हे करताना ‘अ’ मधील प्रत्येक गोष्टीला ‘ब’ मध्ये फक्त एकच जोडीदार असला तर मग त्या दोन समूहांतील गोष्टींची संख्या एकच आहे असे म्हटले जाते. यानुसार संख्येची एक व्याख्या अशी आहे : संख्या म्हणजे अशा प्रकारचा समूहसंघ (totality of collections) की ज्या संघातील कोणत्याही दोन समूहांतील घटक गोष्टींची संख्या एकच असते.

ही व्याख्या तशी अवघडलेली, किचकट आहे, आणि प्रत्यक्षात त्यात काही तार्किक अडचणीही आहेत. परंतु इतर व्याख्यांमध्येही अशा प्रकारच्या अडचणी आहेतच.

संख्यामोजणीच्या गाभ्याशी अमूर्तता असली तरी तिचा उगम मात्र व्यावहारिक गरजांतून झालेला आहे. वस्तूंची देवाणघेवाण आणि अदलाबदल करताना वेगवेगळ्या प्रकारच्या उत्पादनांच्या किंमती ठरविणे जरूर असे. आपण शालेय पातळीवर जे अंक-गणित शिकतो त्यामागची मुख्य प्रेरणा निःसंशयपणे बाजारहाटातच निर्माण झालेली होती. एकूण मालाची मोजणी करताना बेरीज व गुणाकार आला, हिशेबाचा ताळेबंद मांडताना वजाबाकीचा शोध लागला, मालमत्तेची वाटणी करताना भागाकार आला इत्यादी. गरज ही शोधांची जननी आहे हेच यातून सिद्ध झाले. स्थलावकाशातील संबंधांचा अभ्यास करणाऱ्या भूमितीचा उगमही याचप्रकारे व्यावहारिक गरजांतून झाला. धार्मिक विधींनी या शास्त्राच्या वाढीस मोठा हातभार लावला असे आढळून येते. ख्रिस्तपूर्व पाचशे वर्षांच्या कालात ग्रीकांनी भूमितीबद्दल एक पूर्णतः नवीनच रूपावली (paradigm) निर्माण केली. खरे म्हणजे एकूणच ज्ञानप्रक्रियेसंबंधीची ही नवीन रूपावली होती. या क्रांतीच्या परिणामांविषयी आपण नंतर बोलणारच आहोत, परंतु येथे मला विशेष करून नोंदवावेसे वाटते की अमूर्तता हा युक्लिडच्या भूमितीतील एक महत्त्वाचा घटक होता.

अमूर्ततेचे एक अंग म्हणजे एखाद्या विषयाचा अभ्यास करताना त्यातील प्रश्नांच्या गाभ्याशी संबंधित असलेल्या समर्पक भागावरच लक्ष केंद्रित करण्याची क्षमता, आणि त्याचवेळी इतर कोणत्या संदर्भात त्याच गोष्टी समर्पक आहेत हे बघण्याची दृष्टी. दुसरे अंग म्हणजे असंबंधित, असमर्पक गोष्टी बाजूला सारणे. उदाहरणार्थ, पदार्थांच्या, वस्तूंच्या हालचालींचा अभ्यास करताना प्राथमिक पातळीवर घर्षण बाजूला ठेवावे हे लक्षात येण्यासाठी गॅलिलिओची प्रतिभा आवश्यक ठरली. स्थितिगतिशास्त्राचे (mechanics) रूपांतर गणितीस्वरूपाच्या क्षेत्रात झाले त्याची पहिली आवश्यक पायरी हीच होती. अलीकडील अनेक घडामोडींतूनही प्रत्येक क्षेत्रातील गणिती अंगात अमूर्तता मूलभूत भूमिका बजावते. हे ठळकपणे पुढे आले आहे.

ग्रीकांनी घडवून आणलेल्या क्रांतीचा मी उल्लेख केला. यामुळे केवळ गणितच नव्हे तर एकूणच ज्ञानप्रक्रिया सिद्धान्तात (theory of knowledge) सखोल स्वरूपाचा बदल घडून आला. ज्ञानक्षेत्राच्या कोणत्या भागाला गणितीस्वरूपाचे मानावे याबद्दलच्या आपल्या कल्पना युक्लिडच्या गृहीतक पद्धतीने (postulational method) प्रभावित झालेल्या आहेत. युक्लिडच्या गृहीतक रूपावलीत (paradigm) जो बसतो त्या ज्ञान-संचयाला आपण गणिती स्वरूपाचा मानतो, म्हणजे काही अविवाद्य गृहीतके (यांना युक्लिडने axioms म्हटले होते) स्वीकारून अचूक कठोर युक्तिवादाने (rigorous reasoning) त्या गृहीतकांतून असे सर्व ज्ञान सिद्ध होते. या संदर्भात युक्तिवादासाठी लागणारी अवगामी (deductive) पद्धतीही गृहीतकाच्या स्वरूपातील विशिष्ट नियमांवर उभारलेली असते.
आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे आपण ज्याला गणिती ज्ञान म्हणतो, त्यातील बराच मोठा भाग ह्या कठोर कसोटीस तर उतरतोच, एवढेच नाही तर त्यासाठी नैसर्गिक संख्यांच्या (natural numbers) प्राथमिक अंकगणिताची गृहीतके, त्यात फारच थोडी इतर भर टाकून, पुरेशी ठरतात. अर्थात येथे एक वस्तुस्थिती लक्षात घेतली पाहिजेः आज या विलक्षण सीमित अशा गृहीतकाधारित अवगामी पद्धतीत चपखल बसणारी अनेक गणिती क्षेत्रे प्रथम उदयास आली तेव्हा मात्र वरील कठोर कसोट्यांना उतरत नव्हती. (कलनशास्त्रात (calculus) वास्तविक संख्यांची (real numbers) अत्यंत गरज पडते. 19 व्या शतकात डेडेकिंड या गणितज्ञाने परिमेय (rational) संख्यांच्या पलीकडील वास्तविक संख्यांची? प्राथमिक अंकगणिताच्या गृहीतकांच्या आधारावर उभारता येते हे दाखवून दिले) आणि त्यानंतरच कलनशास्त्र ही गणितशाखा वरील कसोटीस उतरली. कलनशास्त्राचे जनक लाईबनित्स आणि न्यूटन यांच्या समकालीनांनी मात्र ह्या नवीन आणि विलक्षण गणितशाखेचा जन्म निःशंकपणे साजरा केला होता. केवळ कलनशास्त्र नव्हे तर इतर अनेक कमी क्लिष्ट गणितशाखाही प्राथमिक अंकगणिताच्या गृहीतकांवर आधारित युक्लिडच्या अवगामी पद्धतीने सिद्ध झाल्या. पण हे सर्व डेडेकिंडच्या संशोधनानंतरच शक्य झाले. न्यूटन, त्यांचे समकालीन, तसेच नंतरच्या इतर गणितज्ञांनी पण युक्लिडची अवगामी पद्धतच वापरली, परंतु त्यांच्या कार्यात अनुस्यूत असलेली गृहीतके अंकगणिताच्या सीध्यासाध्या गृहीतकांपेक्षा अधिक गुंतागुंतीची होती.

विसाव्या शतकात या गृहीतकाधारित पद्धतीची बरीच सखोल तपासणी झाली. डेव्हिड हिल्बर्ट हे गणितक्षेत्रातील एक उत्तुंग व्यक्तिमत्त्व. त्यांनी काही मूलभूत प्रश्न उपस्थित केले. त्यांची मांडणी अशी होती:

एकदा का गृहीतके आणि ती हाताळण्याचे नियम निश्चित केले की नंतर त्याद्वारे नवीन ‘सत्य’ विधाने (‘true’ statements) मिळविणे हा फक्त एक खेळ (game) आहे, आणि या विधानांच्या अर्थाचा त्या खेळाशी काही संबंध नाही.

जर यातील काही विधानांना अर्थ देणे शक्य झाले तर तो निव्वळ योगायोग समजावा. परंतु गणित करणे म्हणजे हा खेळ खेळणे हेच खरे! एक सर्वसमावेशक गृहीतक संच आणि तो हाताळण्याचे नियम तयार करावे अशी हिल्बर्ट यांची महत्त्वाकांक्षा होती. नैसर्गिक संख्या (natural numbers) आणि त्यांचे नेहमीच्या वापरातील संबंध अंतर्भूत असलेली, आणि त्याचबरोबर अंतर्गत सुसंगत अशी प्रणाली त्यांना अपेक्षित होती. परंतु तर्कशास्त्री ग्यडेल (Goedel) यांच्या सुप्रसिद्ध संशोधनाने ते स्वप्न भंगून टाकले. ग्यडेल यांनी दाखवून दिले की हिल्बर्टना अभिप्रेत अशी गृहीतकप्रणाली असू शकत नाही. संदिग्धताविरहित ‘सत्ये’ शोधण्याच्या गणितज्ञांच्या आत्मविश्वासाला अशा प्रकारे तडा गेला. परंतु तरीही या तात्त्विक त्रुटींना न जुमानता गणिती कार्यात ग्यडेलनंतरही भरघोस वाढ झाली आहे.

अंकगणिताचा शोध लागण्यामागे व्यापार उदीमाच्या व्यवहाराचा रेटा होता हे आपण पाहिलेच आहे. पण इतर अनेक मानवी व्यवहारांनीही गणिताच्या प्रगतीला हातभार लावला आहे. भौतिकीचे गणिताबरोबरचे सहजीवी (symbiotic) संबंध अनेक शतकांचे आहेत. भौतिकशास्त्राच्या आकलनासाठी गणिताची भाषा हे सर्वोत्कृष्ट माध्यम आहे. हे पुनःपुन्हा सिद्ध झालेले आहे.

एखाद्या भौतिक घटनेचा (phenomenon) अभ्यास करताना त्यात अनुस्यूत अशा भौतिकशास्त्रीय वस्तू वा तत्त्वे (entities) यांच्याशी मिळत्याजुळत्या गणिती संकल्पना निवडून त्यांची गणिती रचना उभारली जाते. गणितातील अवगामी (deductive) पद्धती वापरून या गणिती संकल्पनांमधील परस्परसंबंधांविषयी निष्कर्ष काढता येतात. हे गणिती निष्कर्ष मग त्या भौतिकी गोष्टींतील संबंध सूचित करतात. येथे आपल्याला एक भाकीत मिळते. हे भाकीत जर प्रत्यक्षात भौतिकी पातळीवर खरे निघाले तर ती गणिती रचना वस्तुस्थिती समजण्यासाठी उपयुक्त आहे असे सिद्ध होते. जर भाकीत खोटे ठरले तर ती गणिती रचना उपयोगाची नाही असे ठरवून ती बाजूला सारली जाते. ह्यालाच ‘गणिती प्रतिमाननिर्मिती’ (mathematical modelling) म्हणतात. अशी गणिती प्रतिमान-निर्मिती सुरुवातीच्या संख्यामोजणीच्या काळापासूनच मानवाची साथ देत आलेली आहे. या संदर्भात ‘गणिती प्रतिमाननिर्मिती’ नामे गणिताच्या विशेष शाखेचा आजकालचा बोलबाला ऐकताना गंमत वाटते!

हे प्रतिमान बहुधा पूर्णत्वास नेलेली रचना नसते (निदान गृहीतकाधारित पद्धतीनुसार तरी), आणि त्यात संबंधित भौतिक घटनेविषयीच्या उपलब्ध ज्ञानाचा व माहितीचा भरपूर वापर केलेला असतो. याचे अभिजात उदाहरण म्हणजे स्थितिगतिशास्त्राचे (mechanics) केलेले प्रतिमान. या प्रयत्नातूनच कलनशास्त्राचा जन्म झाला. या उलट कथा सापेक्षतावादाची आहे. रिमानीयन भूमिती ही पूर्णत्वास गेलेली गणिती पद्धती आधीच अस्तित्वात होती. आणि तिचा वापर करून सापेक्षतावादासाठी प्रतिमान घडवणे शक्य झाले. गणिताचे भौतिकीबरोबरचे हे सहजीवन आजमितीपर्यंत अबाधित आहे.

अनेक अभियांत्रिकी शाखांचेही गणिताबरोबर असेच संबंध आहेत. अभियांत्रिकी क्षेत्रातील गणिताच्या वापराचा स्तर पण दिवसेंदिवस उंचावत आहे. त्यामुळे अधिकाधिक क्लिष्ट, व्यामिश्र प्रश्न सोडविण्याची क्षमताही वाढली आहे. अभियांत्रिकीत वापरले जाणारे बरेचसे गणित ‘डिफरेंशियल इक्वेशन’ या शाखेतील आहे. कलनशास्त्रामधूनच उगवलेली ही उपशाखा. संभाव्यता सिद्धान्ताचेही (probability theory) सखोल उपयोजन अभि-यांत्रिकी प्रश्नांत केले जात आहे. कॉम्बिनेटोरिक्स या आणखी एका शाखेचा प्रभावही बराच आहे. ‘बीजगणितीय भूमिती’ (algebraic geometry) या तुलनात्मक ‘शुद्ध’ गणिती शाखेचा अभियांत्रिकीतील वापरही आताशा बऱ्यापैकी यशस्वीपणे होऊ लागला आहे.

विसाव्या शतकाच्या सुरुवातीस जीवशास्त्र आणि वैद्यकशास्त्र यात उच्च गणिताला काही वाव नाही असे वाटत होते. परंतु सध्या उच्च दर्जाची गुंतागुंतीची गणिती साधने वापरल्याने या दोन्ही शाखांना मोठाच फायदा होत आहे. गेल्या काही दशकांत उच्च गणिताचा प्रवेश समाजशास्त्रांतही झालेला आढळतो. अर्थशास्त्रातील अनेक नोबेल पारितोषिक-विजेत्यांचे कार्य गणितावर आधारित आहे. गणितातील अनेक पीएच. डी. अर्थव्यवस्थेतील प्रश्न सोडविण्यासाठी वॉल स्ट्रीटवर नेमले गेले आहेत.

संगणक विज्ञान ही मुख्यत्वे गणितातूनच उद्भवलेली शाखा. यात तर्कशास्त्र आणि कॉम्बिनेटोरिक्स यांची भूमिका मूलभूत आहे. माहिती तंत्रज्ञानात झालेल्या क्रांतीची मुळेही गणितातच आहेत. थोडक्यात म्हणजे मानवी प्रगतीच्या विविध अंगात गणिताचे योगदान मोठे आहे. लष्करीकरणाचा विस्तार आणि युद्ध या फार उदात्त नसलेल्या क्षेत्रांतही गणिताने मोठी कामगिरी बजावली आहेच. असे म्हणतात की पहिले महायुद्ध हे रसायनशास्त्रज्ञांचे युद्ध होते, दुसरे भौतिकी वैज्ञानिकांचे आणि (ईश्वरकृपेने होऊ नये पण) जर तिसरे महायुद्ध झालेच तर ते गणितज्ञांचे असेल.

माणसांच्या व्यवहारातील बहुविध कृतींतून व कार्यातून गणिताला मिळालेली चेतना आणि स्फूर्ती, तसेच अशा कृतींमध्ये प्रगती घडवून आणण्यासाठी गणिताने लावलेला हातभार यावर मी बरेच विस्तृत विवेचन केले आहे. मानवी व्यवहारांच्या विविध अंगांशी निगडीत प्रश्नांतून उद्भवणारे गणित उपयोजित, व्यावहारिक (applied) गणित म्हणून ओळखले जाते. (येथे कदाचित ‘उपयोगी पडणारे’, ‘व्यवहारयोग्य’, (applicable) हे विशेषण अधिक योग्य ठरेल.) परंतु गणिताचा एक मोठा भाग असा आहे की त्याची निर्मिती शुद्ध सौंदर्यवादी (aesthetic) प्रवृत्तीतूनच झालेली आहे. अनेक गणिती रचनांमध्ये गणितज्ञांना सौंदर्याची प्रचीती येते आणि त्या रचनांचा अधिक धांडोळा घेण्यात त्यांना प्रचंड थरार अनुभवास येतो. आपल्या सौंदर्यवादी दृष्टिकोनातून गणिती संकल्पनांवर ध्यानस्थ विचार करताना सुचलेल्या प्रश्नांचा ते मागोवा घेतात.

कला किंवा संगीत यातील सौंदर्य ही कल्पना तशी सर्वांच्या परिचयाची आहे. अगदी प्लेटोच्या काळापासून प्रमाणबद्धता (proportion), तोल (balance), सुसंगती (harmony) इत्यादी धूसर, काहीशा अस्पष्ट शब्दांत त्याचे विश्लेषण केले गेले आहे. मात्र गणितातील सौंदर्य काय असते हे समजून सांगण्यासाठी ह्या शब्दांचा उपयोग होत नाही. गणिती नसलेल्यांना हे सांगण्याचा उत्तम उपाय म्हणजे युक्लिडचे एक प्रमेय सांगून ते सिद्ध करणे. बहुतेक गणितज्ञ याला गणितातील एक सुंदर’ कृती मानतात. तुम्हाला जर यात सौंदर्य आढळले तर तुमचा सौंदर्यवादी दृष्टिकोन गणिती मनाशी बरोबर संवाद साधू शकेल. (चौकट पाहावी)

हे उदाहरण संख्यासिद्धान्त (number theory) या ‘उच्च अंकगणित’ क्षेत्रातील आहे. युक्लिडने जो प्रश्न उपस्थित केला तो केवळ संख्यांबद्दलच्या कुतूहलातून. तो व्यवहारा-तील एखाद्या समस्येतून निघाला नव्हता. गाऊस यांनी जेव्हा गणिताला विज्ञानक्षेत्रातील सम्राज्ञी म्हटले त्याचवेळी संख्यासिद्धान्ताला गणितातील सम्राज्ञी म्हटले. 19 व्या शतकातील एक थोर गणिती (आणि नेपोलिअनचे मित्र) फूरिये यांनी त्यांच्यापेक्षा थोर समकालीन याकोबी यांच्याबद्दल नाराजी व्यक्त केली की ते ‘शुद्ध गणितात वेळ वाया घालवीत आहेत.’ त्यावर याकोबींचे उत्तर होते, ‘फूरिये सारख्या उच्च दर्जाच्या वैज्ञानिकाला हे कळले पाहिजे की गणिताचे खरे ध्येय (व्यावहारिक उपयोजनापेक्षा) मानवी मनाचे अधिक थोर वैभव साधणे हेच आहे.’

एकंदरीतच असे आढळते की बहुतांशी थोर गणितज्ञांनी शुद्ध सौंदर्यवादी प्रवृत्तीतून निर्माण झालेल्या गणितालाच अधिक महत्त्व दिलेले आहे. त्या मानाने बाह्य परिस्थितीतून मिळालेल्या प्रेरणेमुळे निर्माण झालेले गणित कमी महत्त्वाचे मानले गेले आहे.

गणित म्हणजे काय याची चर्चा करताना आपण इतर विविध मानवी व्यवहारांच्या प्रगतीस गणिताने लावलेल्या हातभाराचा उल्लेख अपरिहार्यपणे केला आहे. परंतु मानवी व्यवहारांवर गणिताचा एक अप्रत्यक्ष प्रभावही पडलेला आहे. गणिती शिक्षणामुळे परिस्थितीचे तर्कशुद्ध विश्लेषण करण्याची क्षमता तयार होते आणि सर्वसाधारण प्रश्नांचा वस्तुनिष्ठ पद्धतीने विचार करण्यास मदत होते. ख्रिस्तपूर्व चार शतके प्लेटोने याविषयीचे गणिताचे मूल्य जाणले होते. समाजाला नेतृत्व पुरविणाऱ्या व्यक्ती गणितात प्रावीण्य असणाऱ्या असाव्यात अशी त्यांची सूचना होती.

मानवी प्रगतीत गणिताने महत्त्वाची आणि व्यापक स्वरूपाची भूमिका बजावलेली आहे हे निःसंशय!

गणितातील सौंदर्याचे अभिजात उदाहरण
प्रथम आपण अविभाज्य संख्या (prime number) म्हणजे काय याची उजळणी करू या. समजा, 1 आणि 0 यापेक्षा वेगळी नैसर्गिक संख्या (natural number) आहे, आणि तिला जर स्वतः ती संख्या आणि 1 यांनीच पूर्ण भाग जात असेल तर त्या संख्येस अविभाज्य संख्या म्हणतात. पहिल्या काही मूळ संख्या आहेत : 2, 3, 5, 7, 13, 17…… युक्लिडनी प्रश्न मांडला की, ‘सर्व मूळ संख्यांचा समूह/संच हा मर्यादित (finite) आहे का?’ त्याचे उत्तर त्यांनी नकारार्थी दिले.

या प्रमेयाची त्यांची सिद्धता अशी होती : समजा, सर्व मूळ संख्यांचा समूह/संच खरोखरीच मर्यादित आहे. सर्व मूळ संख्या मग अशा मांडा:
P1, P2 ……………, Pn. या सर्व मूळ संख्यांचा गुणाकार करून त्यात 1 मिळवा. त्याला (N) म्हणा.
N= P1 x P2 x …………… x Pn +1.

मर्यादित समूहातल्या सर्व अविभाज्य संख्यांपेक्षा मोठी असल्याने N ही अविभाज्य संख्या नाही. आपण जर N ला कोणत्याही अविभाज्य संख्येने भाग दिला तर बाकी राहते 1. म्हणजे कोणत्याही अविभाज्य संख्येने N ला पूर्ण भाग जात नाही. ज्याअर्थी N ही अविभाज्य संख्या नाही त्याअर्थी खुद्द N आणि 1 या खेरीज एखाद्या संख्येने तिला पूर्ण भाग जातो. N ला पूर्ण भाग देणारी संख्या N पेक्षा लहान असली पाहिजे.

N ला पूर्ण भाग देणाऱ्या पण 1 आणि N पेक्षा वेगळ्या संख्यांतील सर्वात लहान संख्या समजा m आहे. जर m आणि 1 पेक्षा वेगळी असलेली 1 ही संख्या m ला पूर्ण भाग देत असेल तर 1, m पेक्षा लहान असूनही N ला पूर्ण भाग
देणार-कारण m, N ला पूर्ण भाग देते. याचा अर्थ m ही अविभाज्य संख्या असली पाहिजे. पण हे विसंगत (absurd) आहे. कारण सुरुवातीसच आपण पाहिले की कोणतीच अविभाज्य संख्या N ला पूर्ण भाग देत नाही.