प्राथमिक शिक्षणात गणित विषयाचे अध्यापन आणि अध्ययन-एक चिंतन (भाग ३)

वजाबाकीची आणखी एक रीत हातच्याची वजाबाकी शिकवताना आकड्यांची खोडाखोड करून आकड्यांची नव्याने मांडणी करावी लागते. ह्या सवयीचे दुष्परिणाम भागाकाराची क्रिया करताना अनुभवास येतात. म्हणून मनातल्या मनात क्रिया करता येण्याची क्षमता विद्यार्थ्यांत रुजवणे, हा अध्यापनाचा एक महत्त्वाचा भाग असला पाहिजे. विद्यार्थ्यांना कोणत्या सवयी आत्मसात करणे फायद्याचे ठरेल ह्याचा निर्णय शिक्षकाने घ्यायचा असतो.

वजाबाकीच्या आणखी एका रीतीचा विचार करू : प्रत्येक रीतीसंबंधी विद्यार्थ्यांना नुसते नियम सांगायचे की हे नियम का लागू पडतात ह्याची समज देण्याचा प्रयत्न करायचा. शिक्षणशास्त्र असे सांगतो की नियमांची समज पटली नसल्यास नियमाचे पालन करताना विद्यार्थी चुका करतात म्हणून नियम सांगण्याआधी हा नियम का लागू पडतो हे विद्यार्थ्यांना पटवून देण्याचा प्रयत्न झाला पाहिजे.

5 – 3 ह्या वजाबाकीचा विचार करू. 5 मध्ये 4 मिळवल्याने 9 होतात. 3 मध्ये 4 मिळविल्याने 7 होतात. 9 – 7 ह्या वजाबाकीचे उत्तर 2 आहे. हेच उत्तर 5 – 3 ह्या वजाबाकीचे आहे हे लक्षात घ्या a – b च्या वजाबाकीचे उत्तर आणि (a + x) − (b + x) ह्या वजाबाकीचे उत्तर सारखेच असते. समजा आपल्याला (253 – 87) ही वजाबाकी करायची आहे. आधी एककाची वजाबाकी करू. येथे 3 मधून 7 वजा होत नाही. म्हणून 3 मध्ये 10 मिळवू. असे केल्याने पहिली संख्या 10 ने वाढली हे लक्षात घ्या. वजाबाकीचे उत्तर सारखे येण्यासाठी 87 मध्ये 10 मिळवावे लागतील मग ही संख्या 97 होते. म्हणजे आपण 8 दशकांमध्ये 1 दशक मिळवावा असा याचा अर्थ होतो. म्हणून 8 च्या खाली 1 लिहिला. 10 वजा 7, 3. 3 अधिक 3, 6. आता 5 दशकांमधून 9 दशक वजा जात नाहीत म्हणून 5 दशकांमधे 10 दशक मिळवू. 9 दशकांमध्ये आपण 10 दशक मिळवल्यावर 19 दशक होतात. म्हणजेच 1 शतक आणि 9 शतक म्हणून शतक स्थानी 1 लिहू. वजाबाकी पूर्ण केल्यावर 1 शतक आणि 6 दशक उरतात. म्हणून 166 हे वजाबाकीचे उत्तर. ह्या क्रिया मनातल्या मनात करता आल्यावर आकडे खोडून लिहिण्याची गरज नसते. भागाकार करताना वजाबाकी करावी लागते. त्यावेळेस ही रीत वापरणे सोयीचे असते.

टप्प्याने पुढे आणि टप्प्याटप्प्याने मागे जाता येण्याची क्षमता विद्यार्थ्यांमध्ये ही क्षमता विकसित करण्यासाठी 100 संख्यांच्या चौरसाचा फार उपयोग होतो. प्रत्येक विद्यार्थ्यांजवळ असा शंभरचा चौरस असणे आवश्यक आहे. अशा चौरसात प्रत्येक स्तंभात दहा संख्या लिहिलेल्या असतात. कोणत्याही संख्येच्या उजवीकडची संख्या ही त्या संख्येपेक्षा मोठी असते. एकच स्तंभांतील संख्यांचा विचार केल्यास त्या स्तंभातील त्या संख्येच्या वर असलेली संख्या ही त्या संख्येपेक्षा लहान. ह्यावरून दोन अंकी संख्यांमध्ये कोणती लहान कोणती मोठी हे सहज ठरवता येते.

0 1 2345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

चौरसाचा उपयोग करून 5 पर्यंतच्या टप्प्याने पुढे जाण्याचा आणि मागे जाण्याचा भरपूर सराव होत रहावा. वर्गातील सर्व मुलांना अशा कृतीत सहभागी होता येईल. गुणाकाराच्या पाढ्यांची कल्पना न देता 2, 3, 4 आणि 5 चे पाढे रटवून घेता येतील. स्तंभात त्यांची मांडणी करवून घेता येईल. 2 पासून सुरुवात करून 2 च्या टप्प्याने पुढे गेल्यास 2 चा पाढा तयार होईल. 3, 4 आणि 5 पाढ्यांसाठी अनुक्रमे 3, 4 आणि 5 पासून सुरुवात करून अनुक्रमे 3, 4 आणि 5 च्या टप्प्याने पुढे जावे लागेल.

13 पासून सुरुवात करून 4 च्या टप्प्याने पुढे गेल्यावर 8 वी संख्या कोणती हे चौरसाचा उपयोग करून सांग अशा प्रकारची अनेक उदाहरणे सोडवून घेता येतील. 13 च्या पुढची पण 4 च्या टप्प्यातील 1 ली संख्या 17 आहे, हे विद्यार्थ्यांच्या लक्षात आणून द्यावे.

वारंवार येणाऱ्या अनुभुतीचे सामान्यीकरण एखादी अनुभूती आपल्या प्रत्ययास वारंवार येत असेल तर ह्या अनुभूतीचा प्रत्यय आपल्याला पुढेही होत राहील असे अनुमान काढण्याकडे आपला कल असतो 2 मध्ये 3 मिळवल्याने 5 होतात तसेच 3 मध्ये 2 मिळवल्याने 5 होतात. ह्याचा अनुभव आपल्याला कोणत्याही दोन संख्याबाबत येतो. अशा अनेक जोड्यांचा एकत्र अभ्यास केल्यावर वरील गुणधर्माच्या सामान्य विधानाच्या आशयाने विद्यार्थ्यांच्या मनात आकार घ्यावा, विद्यार्थ्यांकडून अशी अनेक उदाहरणे सोडवून घ्यावी लागतील व प्रत्येक जोडीबाबत वरील प्रकारचे अनुमान काढावे लागेल. जसे 9 + 8, 17 तसेच 8 + 9 देखील 17.

सर्वसाधारणपणे सामान्य विधानाची भाषा समजण्यास अवघड असली तरी वरील गुणधर्माचे सामान्यीकरण पुढील प्रमाणे होईल. “कोणत्याही दोन संख्यांची बेरीज ही त्या संख्यांची अदलाबदल केल्यावर होणाऱ्या बेरजेएवढीच असते.

अक्षरांचा उपयोग करून, सामान्य विधानांना सोपे रूप देता येते, अशा सामान्य विधानाचा आशय विद्यार्थ्यांच्या लक्षात येण्यासाठी दोन विशिष्ट संख्यांच्या बेरजेची अनेक उदाहरणे विद्यार्थ्यांकडून सोडवून घ्यावी लागतील आणि वाचन वरील प्रमाणे करून घ्यावे लागेल.

3 + 157 ह्या बेरीजेचा विचार करू. 3 च्या पुढे 157 संख्या मोजण्याऐवजी 157 च्या पुढे 3 संख्या मोजणे जास्त सोयीचे जाते.

बेरीज वजाबाकीचा एकत्र अभ्यास कमी करणे व जास्त करणे ह्या एकमेकींच्या विरुद्ध संकल्पना असल्यामुळे बेरीज आणि वजाबाकी एकमेकींच्या विरुद्ध परिणाम साधणाऱ्या क्रिया असणे स्वाभाविक आहे. पण ह्याची प्रत्यक्ष अनुभूती आपल्याला विद्यार्थ्यांना पुढीलप्रमाणे देता येईल. आधी विद्यार्थ्यांकडून पुढील बेरजा व वजाबाक्या करवून घ्याव्यात. 5+3 8-3 7+4 3+4 ह्या उदाहरणांची उत्तरे समीकरण रूपात फळ्यावर लिहिल्यावर पुढील वाक्ये विद्यार्थ्यांकडून सामूहिकरीत्या करवून घ्यावीत. (5 मध्ये 3 मिळवल्याने 8 होतात. परिणामी 8 मधून मिळवलेले 3 काढून टाकल्याने सुरुवातीचे 5 मिळतात.) (7 मधून 4 कमी केल्याने बाकी 3 येतात. परिणामी मिळालेल्या बाकी 3 मध्ये, काढून टाकलेले 4 मिळवल्याने सुरुवातीची 7 ही संख्या मिळते.) बेरीज वजाबाकीपैकी एका क्रियेने जो परिणाम साधला जातो. तो उलट क्रिया केल्याने नाहीसा होतो, हे अनेक उदाहरणे सोडवल्यावर विद्यार्थ्यांच्या सहज लक्षात येईल. यावरून म्हणून 5+3=8 8-3=5 म्हणून 7-4=3 3+4=7 5 अधिक 3 बरोबर 8 म्हणून 7 वजा 4 बरोबर 3 म्हणून 8 वजा 3 बरोबर 5 हेही आता विद्यार्थ्यांना समजू शकेल. 3 अधिक 4 बरोबर 7 वजाबाकीची उदाहरणे बेरीज क्रिया करून का सोडवता येतात? पुढील उदाहरणे विद्यार्थ्यांना एकत्र सोडवण्यास सांगा. 8-5 5+3 9-4 5+4 8 मधून 5 वजा केल्यावर 3 ही संख्या मिळते. ही संख्या 5 मध्ये मिळवल्यावर परत 8 होतात. 5 च्या पुढे 8 पर्यंत किती संख्या मोजाव्या लागतात यावरून ‘8 वजा 5’ चे उत्तर मिळते.

ही सर्व कारणमीमांसा विद्यार्थी स्वतःहून करू शकतील अशी अपेक्षा प्राथमिक शिक्षणात वाजवी होणार नाही. पण जो नियम विद्यार्थ्यांनी आत्मसात करावा अशी आपली अपेक्षा असते. त्या नियमामागे सबळ कारण असते ही भावना विद्यार्थ्यांत दृढ़ होणे आवश्यक आहे.

जे जे शिक्षक सांगतात ते ते विद्याथ्याने शिरोधार्य मानलेच पाहिजे असा अध्यापनाचा दृष्टिकोण असणे चुकीचे आहे. विद्यार्थ्यांत वैज्ञानिक दृष्टिकोण निर्माण करणे हे गणित अध्ययनाचे प्रमुख उद्दिष्ट असले पाहिजे. दुर्देवाने गणिताचे अध्यापक वैज्ञानिक दृष्टिकोनाचे कटाक्षाने पालन करत नाहीत असे खेदाने म्हणावे लागते.

संख्यांचे लेखन आणि बेरीज वजाबाकी क्रिया जेव्हा आपण दोन संख्या एकमेकाखाली लिहून त्यांचेवर बेरीज वजाबाकी क्रिया करतो त्यावेळेस शतक, दशक आणि एकक दाखवणारे अंक एकमेकाखाली येतील याची काळजी घ्यावी लागते. प्रत्येक स्तंभातील अंक 9 किंवा 9 पेक्षा लहान संख्या दाखवणारे अंकच असतात. प्रत्येक स्तंभातील अंकाची बेरीज करताना बेरजेची फक्त रीत माहीत असणे महत्त्वाचे असते. त्यामुळे शतक, दशक, एकक असा अंकाचा संदर्भ निघून जातो, हा बेरीज वजाबाकी करण्याच्या अशा पद्धतीचा मुख्य दोष आहे. या पद्धतीत अंकांच्या स्थानिक किंमतीचा विचार न करता बेरीज वजाबाकी क्रिया करता येतात. म्हणून लेखन करून बेरीज वजाबाकीच्या क्रिया शिकवण्यापूर्वी दोन अंकी पर्यंतच्या संख्यांवर तोंडी क्रिया करण्याचा भरपूर सराव करून घेणे आवश्यक आहे. दुर्देवाने तोंडी उदाहरणे सोडवण्याला आजच्या अध्ययनपद्धतीत नगण्य महत्त्व दिले जो. मग मुलांनी 11 + 2 ही बेरीज 11 च्या खाली + 2, अशी उभी मांडणी करून केल्यास आश्चर्य वाटायला नको.

थोडेसे गुणाकार आणि भागाकार क्रियांविषयी गुणाकार म्हणजे पुन्हा-पुन्हा बेरीज अशी गुणाकाराची प्राथमिक ओळख करून दिली जाते. ह्या अर्थानुसार 2 x 3 म्हणजे 2 + 2 + 2 इथे संख्येच्या गटाशी असलेल्या संबंधाचा आधार तुटला आहे, हे लक्षात घ्या. त्यामुळे ह्या पद्धतीच्या परिचयामुळे व्यवहारात उपयोगी पडणारा गुणाकाराचा खरा अर्थ लक्षात येत नाही. 2 X 3 चा अर्थ 2 वस्तूचे असे 3 गट घेतले असा केल्याने या अर्थाचा संबंध व्यवहाराशी जोडला जातो. एका रकान्यात दोन पुस्तके याप्रमाणे 3 रकान्यात पुस्तकांची मांडणी केली ही क्रिया 2 x 3 अशा मांडणीने सूचित होते.

2 चे 3 गट एकत्र करण्याची क्रिया 2 x 3 असे लिहिल्याने सूचित होते. थोडक्यात 2 x 3 म्हणजे 2 (वस्तू) 3 वेळा हा अर्थ विद्यार्थ्यांच्या मनात रुळावा ह्यासाठी त्यांच्याकडून पुढील कृती करवून घ्यावी. यासाठी चिंचोके, बिया, पाने, जुने (खेळण्याचे) पत्ते ह्यांचा भरपूर साठा उपलब्ध असावा. फळ्यावर 4 x 5 असे लिहिल्यावर विद्यार्थ्यांकडून 4 चे 5 गट तयार करवून घ्यावेत. चार गुणिले पाच असे शब्द शिक्षकाने उच्चारावे. यावर विद्यार्थ्यांकडून दोन गोष्टीची अपेक्षा करावी. विद्यार्थी चार चे पाच गट तयार करतील आणि त्याचबरोबर 4 x 5 असे लिहून दाखवतील. X ह्या चिह्नाचा अर्थ विद्यार्थ्यांच्या मनात रुजविण्यासाठी भरपूर सराव देणे आवश्यक आहे. हा अर्थ विद्यार्थ्यांच्या मनांत रुजला आहे अशी खात्री झाल्यावरच गुणाकाराच्या फलिताविषयी चर्चा करावी: गुणाकाराच्या अर्थानुसार गुणाकाराची उत्तरे विद्यार्थी अचूक करतात की नाही हे तपासण्यासाठी विद्यार्थ्यांना अनेक उदाहरणांचा सराव देणे आवश्यक आहे. गुणाकार म्हणजे पुन्हा पुन्हा बेरीज असाही गुणाकाराचा अर्थ स्पष्ट व्हावा.

2 x 3 म्हणजे ** ** ** एकूण किती हे काढण्यासाठी 2 च्या पुढे 2 मोजल्यावर 4 आणि 4 च्या पुढे 2 मोजल्यावर 6. पुढे मोजणे म्हणजे बेरीज म्हणून 2 x 3 म्हणजे 2 + 2 + 2. विद्यार्थ्याने गुणाकाराचे पाढे स्वतः तयार करावे असे अध्यापनाचे धोरण असावे. सुरुवातीला 5 पर्यंतचे पाढे तयार करवून घ्यावेत. सर्व वर्गाला ह्या कृतीत सहभागी करून घेता येईल. भरपूर सरावानंतर पाढ्यांच्या पाठांतराकडे वळावे. कोणत्याही गुणाकाराचे तात्काळ उत्तर देता येण्याची क्षमता विद्यार्थ्यांत विकसित होण्यास बराच कालावधी लागेल. ह्यासाठी पाढ्यांची सातत्याने उजळणी होत राहणे आवश्यक आहे. उलट पाठांतराला म्हणजे दहापासून सुरुवात करून 1 पर्यंतच्या पाढे म्हणण्याला सुद्धा महत्त्व देणे आवश्यक वाटते. दोन संख्याचे पाढे पाठ असतील तर संख्यांच्या बेरजेचा पाढाही सहज तयार होऊ शकतो. जसे ‘सात सक बेचाळीस’, आणि ‘आठ सक अठ्ठेचाळीस’, म्हणून ’15 (8 + 7) सक नव्वद’ हे ठरवण्यासाठी बेचाळीस आणि अठ्ठेचाळीस ह्यांची बेरीज करावी लागते. ह्याप्रमाणे 11 ते 20 पर्यंतचे पाढे तयार करता येतील. पण दहापर्यंतचे पाढे पाठ असणे आवश्यक. तसेच पुरेसेही आहे.

म्हणून 10 नंतरच्या पाढ्यांच्या पाठांतरावर जास्त वेळ खर्च करण्याची गरज नाही. भागाकाराविषयी थोडेसे साधारणपणे भागाकार म्हणजे समान वाटणी असा भागाकार क्रियेला अर्थ दिला जातो. पण भागाकार ही गुणाकाराच्या विरुद्ध क्रिया आहे, हे या अर्थानुसार ताबडतोब उमजत नाही. शिवाय व्यवहारातली सर्व उदाहरणे या एकाच अर्थानुसार सुटत नाहीत. म्हणून भागाकाराचे दोन अर्थ विद्यार्थ्यांना माहित असणे आवश्यक आहे.

2 x 3 म्हणजे 2 वस्तुंचे 3 गट एकत्र करणे असा गुणाकाराचा अर्थ केला. एकत्रीकरणामुळे 6 वस्तू मिळाल्या. उलट क्रिया करण्यासाठी ज्यात दोन आणि केवळ 2 च वस्तू आहेत असें ह्या 6 वस्तूंचे गट पाडावे लागतील. 6 ला 2 ने भागणे म्हणजे दोन दोनचे गट पाडणे असा भागाकाराचा अर्थ होतो. ह्याप्रमाणे *17 ला 5 ने भागणे म्हणजे 17 वस्तूंचे, ज्यात 5 आणि केवळ 5 च वस्तू असतील असे गट पाडणे. ह्या अर्थानुसार विद्यार्थ्यांकडून भागाकाराची अनेक उदाहरणे सोडवून घ्यावीत. ह्या अर्थानुसार पुढील उदाहरणे आता सहज सोडवता येईल.

8 मण्यांची एक माळ याप्रमाणे 25 मण्यापासून जास्तीत जास्त किती माळा करता येतील ? याचे उत्तर काढण्याकरिता 8 मण्यांचा एक गट ह्याप्रमाणे 25 चे किती गट पडू शकतील हे ठरवावे लागेल म्हणजे भागाकार करावा लागेल. परंतु भागाकाराच्या ह्या अर्थाचा पुढील उदाहरण सोडवण्यासाठी उपयोग होत नाही. 17 लाडूंची 5 मुलांमध्ये समान वाटणी केल्यास प्रत्येकाच्या वाट्याला किती लाडू येतील?

प्रत्येक वाटणीत 5 लाडू खर्ची पडतील अशा 3 वाटण्या करता येतील. प्रत्येकाच्या वाट्याला 3 पूर्ण लाडू येतील. उरलेल्या 2 लाडूंचे 5 समान भाग करावे लागतील प्रत्येक भाग म्हणजे लाडू. प्रत्येकाच्या वाट्याला 3 लाडू येतील. म्हणून भागाकाराचे हे दोन्ही अर्थ मुलांना अवगत होतील असे अध्ययनाचे उद्दिष्ट असले पाहिजे.

‘ज्याप्रमाणे गुणाकाराला पुन्हा पुन्हा बेरीज असा अर्थ देता येतो त्याचप्रमाणे भागाकाराला पुन्हा पुन्हा वजाबाकी असा अर्थ देता येतो. ‘ समजा 15 ला 3 ने भागायचे आहे. 15 वस्तूमधून तीनचा एक गट अलग केल्यास उरलेल्या 12 मधून पुन्हा 3 चा एक गट अलग करता येतो. म्हणून 15 भागिले 3 म्हणजे [{[(15 – 3) −3] –3]} -3]-3 अशी 5 दा वजाबाकी केल्यावर वस्तू उरत नाही म्हणून 15 भागिले 3 चे उत्तर 5. संख्यांवर भागाकाराची रीत शिकवत असताना पाढ्यांचा उपयोग करावा लागतो याची जाणीव विद्यार्थ्यांना होणे आवश्यक आहे. पाढे पाठ असल्याशिवाय भागाकार लवकर करता येत नाही. हे विद्यार्थ्यांना कळले पाहिजे. पाढ्यांच्या पाठांतराचे महत्त्व गुणाकाराबाबत जेवढे आहे तेवढेच ते भागाकाराबाबतही आहे. गुणाकाराची किंवा भागाकाराची कोणतीही रीत शिकवतांना गुणाकाराच्या किंवा भागाकाराच्या मूळ अर्थानुसार त्या रीतीने स्पष्टीकरण होत राहिले पाहिजे. चे दशांश अपूर्णांकात उत्तर काढण्यासाठी भागाकाराची रीत समजण्यासाठी भागाकाराच्या अर्थानुसार स्पष्टीकरण दिल्यामुळे अशा भागाकाराची रीत समजण्यास मदत मिळते. 92, शुभलक्ष्मी अपार्टमेंट्स, जनार्दन स्वामी मार्ग, रामनगर, नागपूर-33