अपूर्णांकाविषयी थोडेसे
अपूर्णांक :- अपूर्णांकासाठी जे चिन्ह वापरतात त्याचा अर्थ मनात रुजल्याशिवाय अपूर्णांकाचे गणित मुलांना समजत नाही. म्हणजे एकाच्या 4 समान भागापैकी 3 भाग. अपूर्णांकाचे संबोध मुलांना समजावून सांगताना क्षेत्रफळाचा उपयोग करावा लागतो.
सममूल्य अपूर्णांक :- एका वर्तुळाचे 4 समान भाग करून 3 भाग अधोरेखित केल्याने वर्तुळाचे जे क्षेत्रफळ व्यापल्या जाते तेवढेच क्षेत्रफळ वर्तुळाचे 8 समान भाग केल्यावर त्यापैकी 6 भाग अधोरेखित केल्याने व्यापल्या जाते.
ह्यावरून एक महत्त्वाचा गुणधर्म मिळतो. अपूर्णांकाच्या अंशाला आणि छेदाला एकाच संख्येने गुणले असता अपूर्णांकाची किंमत बदल नाही.
पण ही समजूत दृढ होण्याकरिता विद्यार्थ्यांनी स्वतः ह्याची अनुभूती घेणे आवश्यक आहे. ह्या गुणधर्माची खात्री पटावी म्हणून अशी अनेक उदाहरणे मुलांनी स्वतः अनुभवली पाहिजेत.
येथे आणखी एक गोष्ट लक्षात घेतली पाहिजे की जो नियम गुणाकाराला लागू पडतो तोच नियम भागाकारालाही लागू पडतो.
अपूर्णांकाच्या अंशाला आणि छेदाला एका (शून्येतर) संख्येने भागले असता अपूर्णाकाच्या किमतीत बदल होत नाही.
या गुणधर्मानुसार अंश आणि छेद त्यामध्ये जर एखादा अवयव समान असेल तर त्या अवयवाचा लोप करता येतो.
21/28 = 3×7/ 4×7 = ¾
जेव्हा दोन अपूर्णांकाचे छेद समान असतात तेव्हा त्या दोन पैकी कोणता लहान कोणता मोठा हे सहज ठरवता येते त्यांची बेरीज आणि
वजाबाकीही करता येते….
जेव्हा दोन अपूर्णांकांचे छेद समान नसतात तेव्हा त्या अपूर्णांकाची किंमत न बदलता ते छेद समान करता येतात. समजा ह्यांचे छेद समान करायचे आहेत तर ते पुढील प्रमाणे करता येतील.
3×7/ 4×7 व 5*4 / ७*4 म्हणजेच 21/28 व 20/28
ह्यावरून अपूर्णांक पेक्षा मोठा आहे हे कळते.
येथेच तिरकस गुणाकार गुणधर्मांचे विवेचन होऊ शकते. पण त्याच वेळेला छेदांच्या समान असण्याला दोन अपूर्णांकाची तुलना करताना जे महत्त्व आहे तेही लक्षात आणून दिले पाहिजे.
दोन असमछेदी अपूर्णांकांची बेरीज वजाबाकी करण्यासाठी पण हीच युक्ति (किंमत न बदलता दोन अपूर्णांकांना समछेद रूप देण्याची) उपयोगात आणू शकेल.
हा गुणधर्म समजण्यासाठी आपल्याला परत क्षेत्रफळाचा उपयोग करावा लागतो.
भागाचा
2×5
दाखवण्यासाठी, एका आकृतीचे 3 सारखे भाग करून त्यापैकी 2 भाग अधोरेखित केले आणि पूर्ण आकृतीचे 6 समान भाग करून ह्यापैकी 5 भाग वेगळ्या पद्धतीने अधोरेखित केले तर दोन्ही पद्धतीने अधोरेखित केलेला भाग हा मूळ एकाच्या इतका भाग होतो.
ह्याचाच अर्थ
भाग असा अर्थ होतो.
ह्यावरून म्हणजे । च्या
दोन अपूर्णांकाची बेरीज जर करता येत असेल तर तीन अपूर्णांकाची बेरीज करण्यासाठी दोन अपणांकाच्या बेरजेत तिसरा अपूर्णांक मिळवावा लागेल.
पारंपारिक अध्ययन पद्धतीत छेदांचा लसावि काढून बेरीज करण्याची रीत
शिकवतात, त्याची गरज नाही असे वाटते. एक तर अपूर्णांकाचे छेद समान करण्याच्या रीतीचे महत्त्व मुलांना पटविण्यासाठी त्यांच्याकडून अनेक उदाहरणे सोडवून घेणे आवश्यक आहे. मुलांना घाबरवून सोडणे हा अध्यापनाचा उद्देश नाही. हे आपण लक्षात घेतले पाहिजे. जेव्हा अपूर्णांकाची संख्या 4 पेक्षा जास्त असते तेव्हाच लसावि काढण्याच्या पद्धतीचा खरा फायदा होतो.
जेव्हा गुण्यसंख्या दोन अंकी (किंवा त्यापेक्षा जास्त अंकी संख्या असते तेव्हा गुणाकार करताना गुणाकार आणि बेरीज अशा दोन क्रिया कराव्या लागतात. भागाकार करताना गुणाकार आणि वजाबाकी अशा क्रिया कराव्या लागतात. ह्या क्रिया मनातल्या मनात करता येण्याची क्षमता विद्यार्थ्यांत विकसित होण्यासाठी त्यांच्याकडून पुढील प्रकारची अनेक उदाहरणे तोंडी सोडवून घेणे आवश्यक आहे. ह्या कृतीत वर्गातील सर्व विद्यार्थ्यांना सहभागी करावे.
2 × 6 + 1, 4 x 5 + 2, 8 – 3 x 2, 26 – 3 x 5
दोन अपूर्णांकांचा भागाकार
भागाकाराच्या आपण केलेल्या अर्थानुसार 3 म्हणजे प्रत्येक भागात 1⁄2 असेल असे 3 चे किती भाग पाडतात हे काढणे. आकृतीवरून 3 चे सहा भाग पडतात. यावरून
3= 1⁄2
6=3x
3= म्हणजे प्रत्येक भागात
3+
येतील असे 3 चे किती भाग होतात हे काढणे. 32 = 4
3/4
3/4
3/4
3/4
आकृतीवरून असे 4 भाग होतात हे उघड आहे म्हणून
3 + 2/ = 4 = 3×4
ह्या गुणधर्माचे सामान्यीकरण “अपूर्णांकाने भागणे म्हणजे त्या अपूर्णांकाच्या गुणाकार व्यस्ताने गुणणे” असे होईल.
24
35
अपूर्णांकाच्या सर्व गुणधर्माचा विद्यार्थ्यांना सराव होण्यासाठी त्यांच्याकडून अनेक उदाहरणे सोडवून घ्यायला हवीत. प्रत्येक वेळेला त्यांनी केलेल्या चुकांबाबत त्यांना योग्य ते मार्गदर्शन होणे आवश्यक आहे.
‘अपूर्णांकांचे गणित करता येणे हे प्राथमिक शिक्षणाचे एक प्रमुख उद्दिष्ट आहे. म्हणून अध्ययनाची गती धीमी असणे आवश्यक आहे.
क्रियासंबंधीचे नियम आत्मसात करायला वेळ लागतो. नुसते नियम सांगून ते विद्यार्थ्यांना आत्मसात होतात अशी अपेक्षा करणे चुकीचे आहे. विद्यार्थी चुका करतात याच्या मुळाशी त्यांना संबोधाचे आकलन झालेले नसते हे आहे. मुलांच्या चुका दुरुस्त करताना नियमाचा पुनरुच्चार करून काम भागत नाही. म्हणून प्रत्येक वेळेला मुलांना मूलभूत संबोध कळतील असा प्रयत्न होणे आवश्यक आहे.
‘पट‘ संबोध आणि गुणोत्तर
दोन संख्या दिल्या असता त्यामध्ये दोन प्रकारची तुलना होऊ सकते. पहिल्या प्रकारच्या तुलनेत पहिली संख्या दुसरीपेक्षा कितीने मोठी, कितीने लहान, की दोन्ही संख्या एकमेकींबरोबर हे पहायचे असते. दुसऱ्या प्रकारच्या तुलनेत पहिली संख्या दुसऱ्या संख्येला कितीदा सामावून घेईल अशा प्रकारचे उत्तर मिळते. 8 ही संख्या 4 ह्या संख्येला दोनदा सामावेल कारण दोनदा चार मिळून आठ होतात. एका भांड्यात दुसऱ्या भांड्याने तीनदा पाणी ओतल्याने ते पहिले भांडे पूर्ण भरते. म्हणजे पहिल्या भांड्यात, दुसऱ्या भांड्याने तीन भांडी पाणी सामावते म्हणून पहिल्या भांड्याची धारकता दुसऱ्या भांड्याच्या धारकतेच्या तिप्पट आहे.
पहिली संख्या दुसऱ्या संख्येच्या किती पट आहे हे काढण्यासाठी दुसऱ्या संख्येने पहिल्या संख्येला भागावे लागते. भागाकार समजा 5 आला आणि शेष शून्य असेल तर पहिली संख्या दुसऱ्या संख्येच्या 5 पट आहे असा निष्कर्ष निघतो. भागाकार निःशेष नसेल तर पहिली संख्या दुसऱ्या संख्येच्या 5 पटीहून जास्त आहे असे म्हणावे लागेल. शून्येतर कोणत्याही अपूर्णांकाने दुसऱ्या कोणत्याही अपूर्णांकाला निःशेष भाग देता येतो. हा निःशेष भागाकार जेव्हा अपूर्णांक असतो तेव्हा ‘पट ‘ऐवजी गुणाकार ह्या शब्दांचा उपयोग करतात. ह्या अर्थानुसार 15 ला 15 चे 7 शी गुणोत्तर असे म्हणतात. येथे 15 पट असे म्हटल्याने ते मुलांना जास्त चांगले समजते. म्हणून गुणोत्तर आणि ‘पट’ हे शब्द आलटून पालटून वापरले जावेत.
7
15
15 हे 15 चे 7 शी गुणोत्तर असेल तर अशा अनेक संख्यांच्या जोड्या सांगता येतील की, ज्यातील पहिल्या संख्येचे दुसऱ्या संख्यांशी गुणोत्तर 7 हेच असते.
(30, 14) (45, 21) (60, 28 ) अशा जोड्यांवरील मुद्द्यांची पुष्टी 15 है 15 चे 7 शी गुणोत्तर असते तर 15 हे 15 चे 7 शी गुणोत्तर असते हा मुद्दा लक्षात घ्यावा.
गुणोत्तरामुळे एका संख्येचे दुसऱ्या संख्येशी असलेले नाते कळते. ‘गुणोत्तर हा एक अत्यंत महत्त्वाचा संबोध आहे. ह्या संबोधाचा सर्वत्र उपयोग होत असतो, म्हणून ह्या संबोधाचे अध्ययन संथ गतीने व्हावे असे वाटते. (क्रमशः)
[जून 2004, 15.3 च्या अंकात पान 134 वर काही सुधारणा सुचवीत आहे. त्याची पुढच्या अंकात कार्यवाही व्हावी.
ओळ 4 थी । शतक आणि 9 शतक ऐवजी शतक आणि 9 दशक असे हवे. त्याच पानावर दुसरा पॅरा तिसरी ओळ ‘प्रत्येक स्तंभात’ ऐवजी ‘प्रत्येक ओळीत’ असे हवे. तिसऱ्या ओळीतील शेवटच्या ‘कोणत्याही’ या शब्दाऐवजी एकाच ओळीतील कोणत्याही’ असे हवे.
ही दुरुस्ती केल्यावर हे वाक्य असे होईल, ‘एकाच ओळीतील कोणत्याही संख्येच्या उजवीकडची संख्या ही त्या संख्येपेक्षा मोठी असते. ‘– (श्री फडणीसांनी पाठवलेल्या सुधारणा वर नोंदत आहोत.) ]